¿Cómo se relaciona el cálculo con la ciencia de los datos?

Derivado: — En matemáticas, Derivativo es la tasa de cambio de una función con respecto a una variable. Los derivados son fundamentales para la solución de problemas en cálculo y ecuaciones diferenciales. En general, los científicos observan sistemas dinámicos para obtener la tasa de cambio de alguna variable de interés, incorporar esta información en alguna ecuación diferencial, y utilizar técnicas de integración para obtener una función que se puede utilizar para predecir el comportamiento del sistema original en diversas condiciones.

La derivada es una manera de mostrar la tasa instantánea de cambio que es la cantidad por la cual hay un cambio en la función en un punto dado. Para las funciones que actúan sobre los números reales, es la pendiente de la línea tangente en un punto en un gráfico.. La derivada se escribe a menudo como,

Esa es la diferencia en y dividido por la diferencia en x. Aquí, d no es la variable por lo que no se puede cancelar.

La derivada de y con respecto a x se define como el cambio en y sobre el cambio en x.

En términos matemáticos,

Es decir, a medida que la distancia entre los dos puntos x se acerca a cero, la pendiente de la línea entre ellos se acerca a la línea tangente respectiva.

Derivados de las funciones: -

La derivada de diferentes tipos de función se puede derivar de la siguiente manera:

1) Funciones lineales: — La derivada de funciones lineales como mx + c sin términos superiores es constante. Cuando la variable dependiente y toma directamente el valor de x (y = x), la pendiente de la línea es 1 en todos los lugares. Por lo tanto, independientemente de dónde está la posición.

2) Funciones de potencia: — Las funciones de potencia se comportan según su exponente y pendiente. Las funciones de poder siguen la regla de que:

3) Funciones exponenciales: — Una exponencial es la forma de abf(x), donde a y b son constantes y f(x) son una función de x. La diferencia entre un exponencial y polinomio es que en un polinomio x se eleva a alguna potencia, mientras que en un exponencial x está en la potencia.

4) Funciones logarítmicas: — El derivado de los logaritmos es el recíproco.

5) Funciones trigonométricas: — La función coseno es la derivada de la función seno, mientras que la derivada de coseno es seno negativo.

Propiedades de los derivados: -

Los derivados se pueden dividir en partes más pequeñas con el fin de gestionarlos.

Por ejemplo,

Los derivados pueden clasificarse en diferentes tipos en función de su orden, como los derivados de primer y segundo orden.

La derivada de primer orden describe la dirección de la función si la función está aumentando o disminuyendo. Se puede predecir como una tasa instantánea de cambio. También se puede determinar a partir de la pendiente de la línea tangente.

El segundo orden derivado se utilizan para obtener una idea de la forma del gráfico para la función dada. Las funciones se pueden clasificar en términos de concavidad.

Ejemplo-1: Buscar la derivada de la función:

Solución: -

Ahora, calcular la derivada de f(x),

Ahora, divida los términos de la función como:

Usando las fórmulas,

Ejemplo 2 : Encontrar la derivada de 2 tan x + 1

Solución: -

Los derivados son utilizados por Machine learning para resolver problemas de optimización. Los algoritmos de optimización tales como descenso de gradiente utilizan derivados para decidir si aumentar o disminuir los pesos con el fin de aumentar o disminuir cualquier función objetiva.

Datos Los científicos usan cálculo para casi todos los modelos y un ejemplo básico pero muy excelente de cálculo en Machine Learning es Descent Gradient.

Descenso gradiente: -

Un gradiente mide cuánto cambia la salida de una función si cambia las entradas un poco. En el modelo de aprendizaje automático nuestro objetivo es reducir el costo de nuestros datos de entrada. La función de coste se utiliza para monitorear el error en las predicciones de un modelo ML. Al minimizar esto, básicamente significa llegar al valor de error más bajo posible o aumentar la precisión del modelo. Por lo tanto, aumentamos la precisión iterando sobre un conjunto de datos de entrenamiento mientras retocamos los parámetros de nuestro modelo.

Por ejemplo, tenemos un conjunto de datos de los usuarios con sus marcas en algunos de los sujetos y sus estudios adicionales seleccionados para la graduación. Nuestro objetivo es predecir el flujo de graduación de la persona con la consideración de las marcas de la persona.

En este conjunto de datos, tenemos datos de Swapnil y Priyanker y utilizando estos datos necesitamos predecir la corriente de graduación de Sarang.

Ahora considerando las marcas en el sujeto como un gradiente y la corriente como el objetivo inferior. Tenemos que optimizar el modelo para que el resultado que predice en la parte inferior sea preciso.

Utilizando los datos de Swapnil y Priyanker crearemos descenso de gradiente y afinaremos nuestro modelo de tal manera que si damos las marcas de Sarang entonces debe predecir el resultado de la ciencia en el fondo del gradiente y lo mismo para Priyanker. Este es nuestro modelo entrenado. Ahora si damos marcas de sujeto a nuestro modelo entonces podemos predecir fácilmente la corriente.

La fórmula básica que podemos utilizar en este modelo es

y = m*x + b

Donde, y = predictor, m = pendiente, x = entrada, b = intercepción y

Este tipo de problema se puede resolver definiendo una función de costo que determina lo buena que es una línea dada. La función de costo se puede calcular usando la siguiente ecuación:

Las líneas que mejor se ajusten a nuestros datos resultarán en valores de error más bajos. Si minimizamos esta función, obtendremos la mejor línea para nuestros datos.

Utilizamos la diferenciación para calcular la pendiente.

Para ejecutar descenso de gradiente en esta función de error, necesitamos calcular su gradiente. Para calcular el gradiente, necesitamos diferenciar nuestra función de error. Dado que nuestra función está definida por dos parámetros (m y b), tendremos que calcular una derivada parcial para cada uno.

Estos derivados pueden calcularse de la siguiente manera:

Podemos inicializar nuestra búsqueda para comenzar en cualquier par de valores m y b (es decir, cualquier línea) y dejar que el algoritmo de descenso de gradiente marche cuesta abajo en nuestra función de error hacia la mejor línea. Cada iteración actualizará m y b a una línea que produce un error ligeramente menor que la iteración anterior. La dirección a mover para cada iteración se calcula usando los dos derivados parciales de arriba.

La variable Tasa de Aprendizaje controla el tamaño de un paso que tomamos cuesta abajo durante cada iteración. Si damos un paso demasiado grande, podemos superar el mínimo. Sin embargo, si damos pequeños pasos, se requerirán muchas iteraciones para llegar al mínimo.